ε = a/2 > 0 nous voyons qu'il existe un réel x 0 n 0 tel que
∀x x 0 , f (x)
a
2
.
Par conséquent,
∀x x 0 , F(x) − F(x 0 ) =
x
x 0
f (t) dt
a
2
(x − x 0 ).
En particulier, la fonction F tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞, car
a > 0. La suite de terme général F(N ) est donc divergente : nous avons
abouti à une contradiction. Ainsi :
lim
x→+∞
f (x) = 0.
Soit ε ∈ R ∗
+ . Il existe un entier n 1 n 0 tel que
∀x ∈ [n 1 ,+∞[, | f (x)| ε et ∀N ∈ N,N n 1 ⇒ |F(N ) − | ε.
Pour tout réel x n 1 nous avons donc
|F(x) − | |F(x) − F(E(x))| + |F(E(x)) − |
x
E(x)
f (t) dt
+ ε
x
E(x)
| f (t)| dt + ε
ε(x − E(x)) + ε
2ε
car 0 x − E(x) 1 .
Par conséquent, la fonction F tend vers en +∞.
3. Nous allons voir que, pour la première de ces deux séries, le résultat précédent
s'applique directement. Pour la seconde série l'intégrale posera plus de problèmes.
Considérons la fonction
f : R ∗
+ →
R
t →
cos (ln(t))
t
.
Cette fonction est dérivable sur R ∗
+ et
∀t ∈ R
∗
+ , f
(t) =
−
1
t sin(ln(t))t − cos (ln(t))
t 2
=
−cos (ln(t)) − sin(ln(t))
t 2
.
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Chapitre 5 • Séries numériques