|F(x) − | = |F(x) − F( p) + F( p) − |
|F(x) − F( p)| + |F( p) − |
x
p
f (t) dt
+ |F( p) − |
x
p
| f (t)| dt + |F( p) − |
max
[x, p]
(| f |)
(x − p) + |F( p) − |
max
[x, p]
(| f |) + |F( p) − |
car 0 x − p 1.
Le second terme de la somme tend vers 0 lorsque x tend vers +∞ car p = E(x) est
alors un entier qui tend vers +∞. Nous allons montrer que le premier terme tend
également vers 0 lorsque x tend vers +∞. Pour cela, nous allons montrer que la
fonction f tend vers 0 en +∞. Expliquons intuitivement pourquoi tel est bien le cas.
Tout d'abord, le fait que la fonction f soit intégrable sur [n 0 ,+∞] assure que f possède une limite finie a en +∞. La primitive F de f devrait donc ressembler (en un
sens à préciser) à la fonction t → at au voisinage de +∞. Nous voyons que cela
impose à a d'être nul afin que la suite de terme général F(N ) converge.
Rédigeons maintenant ces arguments de façon plus rigoureuse. Afin de gagner en
clarté, nous avons choisi de remettre les arguments dans l'ordre logique dans le texte
final et de démontrer d'abord que la fonction f tend vers 0 en +∞.
Supposons, à présent, que la série
f (n) converge. D'après le raisonnement qui précède, la suite (F(N )) N n 0 tend alors vers une limite finie .
Commençons par montrer que la fonction f tend vers 0 en +∞. Par hypothèse, la fonction f est intégrable sur [n 0 ,+∞[. On en déduit que la fonction
x n 0 →
x
n 0
f
(t) dt ∈ R
possède une limite finie a 0 en +∞. Or
∀x n 0 ,
x
n 0
f
(t) dt = f (x) − f (n 0 ).
On en déduit que la fonction f tend en +∞ vers un nombre réel a.
Supposons, par l'absurde, que a = / 0. Quitte à remplacer f par − f, nous
pouvons supposer que a > 0. En appliquant la définition de la limite avec
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Chapitre 5 • Séries numériques