Nous allons maintenant manipuler l'expression de cette dernière série afin de faire
apparaître les données de l'énoncé : la primitive F et la série
f (n).
Quel que soit N n 0 nous avons
N
n=n 0
n+1
n
f (t) dt − f (n)
=
N
n=n 0
n+1
n
f (t) dt −
N
n=n 0
f (n)
=
N +1
n 0
f (t) dt −
N
n=n 0
f (n)
= F(N + 1) − F(n 0 ) −
N
n=n 0
f (n)
Puisque le membre de gauche de l'égalité possède une limite finie, on en
déduit que la suite (F(N )) N n 0 converge si, et seulement si, la série
f (n) converge.
2.b. Le résultat que nous venons de démontrer fait intervenir la convergence de la
suite (F(N )) N n 0 quand N tend vers +∞. Il faut maintenant la relier à celle de la
fonction F en +∞.
Les deux notions de convergence sont distinctes ! Si g est une fonction qui tend
vers une limite en +∞ , alors la suite (g(n)) tend également vers , mais la réciproque est fausse. Par exemple, la suite (sin(2πn)) n∈N tend vers 0 (elle est
constante égale à 0) mais la fonction t → sin(2πt) n'a pas de limite en +∞ .
Comme nous venons de le rappeler, la convergence de la fonction F en +∞
entraîne la convergence de la suite (F(N )) N n 0 . Un sens de l'équivalence demandée
est donc facile à démontrer.
Supposons que la fonction F possède une limite finie en +∞. Alors la suite
(F(N )) N n 0 converge. D'après le raisonnement qui précède, la série
f (n) converge également.
Intéressons-nous maintenant à l'implication réciproque. Nous supposerons donc que
la série
f (n) converge, ce qui implique que la suite (F(N )) N n 0 tende vers une
limite finie . Nous souhaitons montrer que la fonction F tend en +∞ vers une
limite finie. D'après ce qui précède, cette limite est nécessairement .
Pour x n 0 nous allons former la quantité |F(x) − | et tâcher de l'évaluer en faisant intervenir les données sur lesquelles nous possédons des informations : les
valeurs de F aux entiers et la fonction f. Nous avons, avec p = E(x) :
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Chapitre 5 • Séries numériques