Par conséquent, nous avons
n+1
n
f (t) dt − f (n)
=
n+1
n
(t − (n + 1)) f
(t) dt
n+1
n
|t − (n + 1)| | f
(t)| dt.
Or, pour t ∈ [n,n + 1], |t − (n + 1)| 1 . On en déduit
n+1
n
f (t) dt − f (n)
n+1
n
| f
(t)| dt.
Toute la difficulté consiste ici à choisir une primitive convenable de la fonction 1
pour effectuer l'intégration par parties. Il est bon de garder ce problème en
mémoire. En effet, il y a souvent un choix de primitive plus intéressant que les
autres qui permet de simplifier les calculs. C'est par exemple le cas dans la
démonstration de la formule de Taylor avec reste intégral.
2.a. Nous nous intéressons dans cette question à la convergence de la série
f (n).
Commençons par traduire les résultats obtenus à la question précédente en termes
de séries.
Quel que soit N n 0 , nous avons
N
n=n 0
n+1
n
| f
(t)| dt =
N +1
n 0
| f
(t)| dt.
Puisque la fonction f est intégrable sur [n 0 ,+∞[ , la suite
(
N +1
n 0
| f (t)| dt) N n 0 converge et donc la série
(
n+1
n
| f (t)| dt) également.
D'après les inégalités obtenues à la question précédente, la série
nn 0
n+1
n
f (t) dt − f (n)
converge également. Par conséquent, la série
nn 0
n+1
n
f (t) dt − f (n)
est absolument convergente et donc convergente.
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Chapitre 5 • Séries numériques