On peut ensuite être tenté de faire intervenir la dérivée de f à l'aide de l'inégalité des
accroissements finis (que l'on peut bien utiliser puisque f est de classe C 1 ). On
obtient alors, avec M = || f || ∞,[n,n+1] :
n+1
n
f (t) dt − f (n)
n+1
n
M(t − n) dt
M
2
.
Ce n'est pas l'expression demandée. Le problème vient du fait que l'inégalité des
accroissements finis a fait disparaître la dépendance en t de la dérivée f .
Il nous faut donc trouver un autre moyen de faire apparaître f dans l'intégrale : nous
allons utiliser une intégration par parties. Le premier choix qui s'offre à nous est
celui qui consiste à dériver la fonction f et à primitiver la fonction 1 en la fonction
t → t. Avec ces choix, nous obtenons
n+1
n
f (t) dt = [t f (t)]
n+1
n
−
n+1
n
t f
(t) dt
= (n + 1) f (n + 1) − n f (n) −
n+1
n
t f
(t) dt.
Cela ne ressemble guère à l'écriture recherchée.
Afin d'améliorer cette expression, remarquons que nous avons effectué un choix :
celui de la primitive de la fonction 1. Nous aurions pu choisir n'importe quelle fonction de la forme t → t + c, avec c ∈ R. Si nous voulons que le terme contenant les
n + 1 disparaisse, il est naturel de choisir la primitive qui s'annule en n + 1 :
t → t − (n + 1).
Soit n n 0 . Considérons les fonctions u et v définies sur [n,n + 1] par
u = f et v : t ∈ [n,n + 1] → t − (n + 1).
Ces fonctions sont de classe C 1 sur [n,n + 1]. Par ailleurs :
∀t ∈ [n,n + 1], u
(t) = f
(t) et v
(t) = 1.
Par intégration par parties, nous avons
n+1
n
f (t) dt =
n+1
n
u(t)v
(t) dt
= [u(t)v(t)]
n+1
n
−
n+1
n
u
(t)v(t) dt
= [ f (t)(t − (n + 1))]
n+1
n
−
n+1
n
f
(t)(t − (n + 1)) dt
= f (n) −
n+1
n
(t − (n + 1)) f
(t) dt.
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Chapitre 5 • Séries numériques