autrement dit,
+∞
k=n+1
1
k
− ln(k + 1) + ln(k)
=
1
2n
+ o
1
n
.
Finalement, nous obtenons
H n − ln(n) − γ =
1
n
+ o
1
n
−
1
2n
+ o
1
n
=
1
2n
+ o
1
n
.
Exercice 5.10 : Convergence de série et intégrabilité
Soient n 0 ∈ N et f ∈ C 1 ([n 0 ,+∞[,C) . On suppose que f est intégrable sur
[n 0 ,+∞[.
1. Montrer que : ∀n n 0 ,
n+1
n
f (t)dt − f (n)
n+1
n
| f
(t)|dt .
2. Soit F une primitive de f.
2.a. Montrer que la série
nn 0
f (n) converge si, et seulement si, la suite
(F(N )) N ∈N converge.
2.b. Montrer que la série
nn 0
f (n) converge si, et seulement si, la fonction F
possède une limite finie en +∞.
3. Application : étudier la convergence des séries
n1
cos (ln(n))
n
et
n1
sin(
√
n)
n
.
1. On cherche ici à majorer la valeur absolue de la quantité
n+1
n
f (t)dt − f (n) par
une intégrale entre n et n + 1. Une solution naturelle consiste donc à commencer
par interpréter la quantité f (n) comme une telle intégrale : il suffit d'écrire
f (n) =
n+1
n
f (n) dt.
En remplaçant dans l'expression de l'énoncé on obtient
n+1
n
f (t) dt − f (n)
=
n+1
n
( f (t) − f (n)) dt
n+1
n
| f (t) − f (n)| dt.
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Chapitre 5 • Séries numériques