4. Nous avons vu précédemment que H n − ln(n) peut s'exprimer à l'aide d'une
somme partielle de série dont la somme est γ. En conséquence, leur différence est
le reste d'une série: ceci nous permettra d'utiliser les résultats précédents.
Reprenons les calculs effectués à la question précédente. Quel que soit
n 1, nous avons
H n − ln(n) − γ =
n
k=1
1
k
− ln(k + 1) + ln(k)
+ ln
1 +
1
n
− γ
=
n
k=1
1
k
− ln(k + 1) + ln(k)
+ ln
1 +
1
n
−
+∞
k=1
1
k
− ln(k + 1) + ln(k)
= ln
1 +
1
n
−
+∞
k=n+1
1
k
− ln(k + 1) + ln(k)
.
Nous allons, à présent, chercher un développement asymptotique en o(1/n) de chacun des termes de la somme. Le premier ne présente aucune difficulté ; pour le
second, nous utiliserons le résultat de la question 2. afin de nous ramener à une série
dont le terme général est plus sympathique.
Nous avons
ln
1 +
1
n
=
1
n
+ o
1
n
.
Nous avons également
1
k
− ln(k + 1) + ln(k) =
1
k
− ln
1 +
1
k
∼
1
2k 2 .
D'après la question 2., nous avons donc
+∞
k=n+1
1
k
− ln(k + 1) + ln(k)
∼
+∞
k=n+1
1
2k 2
et, d'après la question 1.a (avec α = 2 > 1),
+∞
k=n+1
1
k
− ln(k + 1) + ln(k)
∼
1
2n
,
150
Chapitre 5 • Séries numériques