L'énoncé demande de montrer que la suite de terme général H n − ln(n) converge.
La suite de terme général ln(1 + 1/n) tend vers 0 quand n tend vers +∞. Par
conséquent, il nous suffit de montrer que la série de terme général
1/k − ln(k + 1) + ln(k) converge. Pour l'étudier, nous allons chercher dans un premier temps à la comparer à une série de Riemann. Pour cela, nous allons effectuer
un développement asymptotique de son terme général à partir d'un développement
limité de la fonction logarithme.
Lorsque le terme général d'une série est donné par une formule faisant intervenir
des fonctions usuelles, il est souvent profitable d'essayer de le comparer à une
série de Riemann en utilisant les développements limités usuels. Bien sûr, cette
méthode ne fonctionne pas toujours, mais lorsque c'est le cas elle est la plus simple
et la plus rapide pour conclure (mis à part les cas particuliers où le critère de
d'Alembert s'applique de manière évidente, par exemple lorsque l'on est en présence d'exponentielles et de factorielles.). À défaut, on peut aussi essayer le critère spécial des séries alternées si l'on est en présence d'un facteur (−1) n .
Nous avons
1
k
− ln(k + 1) + ln(k) =
1
k
− ln
1 +
1
k
=
1
k
−
1
k
+ O
1
k 2
= O
1
k 2
.
D'après le critère de comparaison aux séries de Riemann, la série de terme
général 1/k − ln(k + 1) + ln(k) est convergente. Notons γ sa somme. Nous
avons
H n − ln(n) =
n
k=1
1
k
− ln(k + 1) + ln(k)
+ ln
1 +
1
n
− −− →
n→+∞
γ + 0 = γ.
En d'autres termes,
H n = ln(n) + γ + o(1),
avec
γ =
+∞
k=1
1
k
− ln(k + 1) + ln(k)
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
149
Chapitre 5 • Séries numériques
La suite de terme général ln(1 + 1/n) tend vers 0 quand n tend vers +∞. Par
conséquent, il nous suffit de montrer que la série de terme général
1/k − ln(k + 1) + ln(k) converge. Pour l'étudier, nous allons chercher dans un premier temps à la comparer à une série de Riemann. Pour cela, nous allons effectuer
un développement asymptotique de son terme général à partir d'un développement
limité de la fonction logarithme.
Lorsque le terme général d'une série est donné par une formule faisant intervenir
des fonctions usuelles, il est souvent profitable d'essayer de le comparer à une
série de Riemann en utilisant les développements limités usuels. Bien sûr, cette
méthode ne fonctionne pas toujours, mais lorsque c'est le cas elle est la plus simple
et la plus rapide pour conclure (mis à part les cas particuliers où le critère de
d'Alembert s'applique de manière évidente, par exemple lorsque l'on est en présence d'exponentielles et de factorielles.). À défaut, on peut aussi essayer le critère spécial des séries alternées si l'on est en présence d'un facteur (−1) n .
Nous avons
1
k
− ln(k + 1) + ln(k) =
1
k
− ln
1 +
1
k
=
1
k
−
1
k
+ O
1
k 2
= O
1
k 2
.
D'après le critère de comparaison aux séries de Riemann, la série de terme
général 1/k − ln(k + 1) + ln(k) est convergente. Notons γ sa somme. Nous
avons
H n − ln(n) =
n
k=1
1
k
− ln(k + 1) + ln(k)
+ ln
1 +
1
n
− −− →
n→+∞
γ + 0 = γ.
En d'autres termes,
H n = ln(n) + γ + o(1),
avec
γ =
+∞
k=1
1
k
− ln(k + 1) + ln(k)
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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