Revenons, à présent, à la série
u n . Soit n ∈ N. Nous avons
∀k n + 1, u n = v n + w n
et donc
∀M n + 1,
M
k=n+1
u k =
M
k=n+1
v k +
M
k=n+1
w k .
Puisque les séries
u n ,
v n et
w n sont convergentes, nous pouvons
faire tendre M vers +∞ dans l'inégalité précédente. Nous obtenons
+∞
k=n+1
u k =
+∞
k=n+1
v k +
+∞
k=n+1
w k .
Or, nous avons montré que
+∞
k=n+1
w k = o
+∞
k=n+1
v k
.
On en déduit
+∞
k=n+1
u k ∼
+∞
k=n+1
v k .
3. L'énoncé nous suggère d'écrire la quantité ln(n + 1) sous la forme d'une somme
partielle de série. On peut relier le terme général d'une suite (u n ) n∈N à une somme
partielle de série télescopique de la façon suivante :
∀n ∈ N, u n+1 − u 0 =
n
k=0
(u k+1 − u k ).
Nous allons utiliser ici cette méthode. Elle nous permettra de ramener la quantité
H n − ln(n) à une somme partielle de série.
Remarquons que
∀n ∈ N, ln(n + 1) =
n
k=1
(ln(k + 1) − ln(k)).
Par conséquent, quel que soit n 1, nous avons
H n − ln(n) = H n − ln(n + 1) + ln(n + 1) − ln(n)
=
n
k=1
1
k
−
n
k=1
(ln(k + 1) − ln(k)) + ln
1 +
1
n
=
n
k=1
1
k
− ln(k + 1) + ln(k)
+ ln
1 +
1
n
.
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Chapitre 5 • Séries numériques