En sommant les inégalités précédentes, nous obtenons
+∞
k=n+1
u k =
+∞
k=n+1
v k +
+∞
k=n+1
w k .
(Remarquons que la série
w n converge puisque la série
v n est positive et
convergente et que w n = o(v n ).)
Nous aurons donc résolu le problème si nous parvenons à montrer que
+∞
k=n+1
w k = o
+∞
k=n+1
v k
.
Pour cela, nous allons revenir à la définition de suite négligeable. Rappelons qu'une
suite réelle ou complexe (a n ) n∈N est négligeable devant une suite réelle ou complexe (b n ) n∈N si
∀ε > 0,∃N ∈ N,∀n N ,|b n | ε|a n |.
Ici encore, il est essentiel de revenir à la véritable définition d'une suite négligeable et ne pas se contenter d'écrire qu'un certain quotient (dont on ne sait même
pas s'il existe) tend vers 0.
Soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel que
∀n N , |w n | ε|v n | ε v n ,
car la suite (v n ) n∈N est positive.
Soit n N. En sommant les inégalités précédentes, nous obtenons
∀M n + 1,
M
k=n+1
w k
M
k=n+1
|w k | ε
M
k=n+1
v k .
La série de terme général w n converge (par comparaison avec la série
convergente de terme général positif v n ). Nous obtenons alors, lorsque M
tend vers +∞ :
+∞
k=n+1
w k
ε
+∞
k=n+1
v k .
En d'autres termes, nous avons montré que
+∞
k=n+1
w k = o
+∞
k=n+1
v k
.
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Chapitre 5 • Séries numériques