Supposons enfin α = 1. En raisonnant comme précédemment, on montre
que
∀n 2,
n+1
n
dt
t
1
n
n
n−1
dt
t
puis que
∀n 1, 1 + ln(n + 1) − ln(2) S n 1 + ln(n)
et finalement que
S n ∼ ln(n).
Dans le cas α 0, le même raisonnement permet de trouver un équivalent de la
suite des sommes partielles, à ceci près que la fonction t → 1/t α est croissante.
Ainsi, les inégalités sont inversées :
∀n 2,
n
n−1
dt
t α
1
n α
n+1
n
dt
t α
∀n 2,
n
1
dt
t α
n
k=2
1
k α
n+1
2
dt
t α
mais l'équivalent final est le même :
S n ∼
1
1 − α
1
n α−1 .
2. Dans un premier temps, traduisons les hypothèses. Comme il s'agit d'un exercice
théorique, nous allons revenir ici à la définition véritable de l'équivalence de suites :
la suite (u n ) n∈N est la somme de la suite (v n ) n∈N et d'une suite négligeable devant
cette dernière.
Il ne faut pas traduire l'hypothèse sous la forme u n /v n −−−→
n→+∞
1. En effet, rien ne
nous assure que l'expression u n /v n ait un sens ! Il est parfaitement possible que la
suite (v n ) n∈N posséde des termes nuls.
En outre, nous allons manipuler des sommes de séries et il est donc plus logique
de traduire l'hypothèse sous une forme additive et non multiplicative.
Puisque les suites (u n ) n∈N et (v n ) n∈N sont équivalentes, il existe une suite
réelle (w n ) n∈N telle que
∀n ∈ N, u n = v n + w n ;
w n = o(v n ).
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Chapitre 5 • Séries numériques