Enfin, nous prendrons garde à ce que l'indice de départ des sommes partielles soit 2
afin que les intégrales écrites ne concernent bien que des fonctions définies et continues sur un segment.
Supposons, tout d'abord, que α ∈]0,1[. La fonction t → 1/t α étant encore
décroissante sur R ∗
+ , le même raisonnement qu'à la question précédente
montre que
∀n 2,
n+1
n
dt
t α
1
n α
n
n−1
dt
t α .
Quel que soit n 2, nous avons donc
n
k=2
1
k α
n
k=2
k+1
k
dt
t α
n+1
2
dt
t α
1
1 − α
1
t α−1
n+1
2
1
1 − α
1
(n + 1) α−1 −
1
1 − α
1
2 α−1 .
Étant donné que le premier terme de la série est 1 on en déduit :
∀n 1, S n 1 +
1
1 − α
1
(n + 1) α−1 −
1
1 − α
1
2 α−1 = u n .
De même, on montre que
∀n 1, S n 1 +
1
1 − α
1
n α−1 −
1
1 − α
= v n .
En raisonnant comme dans la question précédente et en utilisant le fait que
lim
n→+∞
n α−1 = 0, on montre que
u n ∼ v n ∼
1
1 − α
1
n α−1 .
On en déduit que
S n ∼
1
1 − α
1
n α−1 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Séries numériques