Pour obtenir un équivalent du reste
+∞
k=n+1
1
k α , nous allons commencer par encadrer
N
k=n+1
1
k α puis faire tendre N vers l'infini.
Soit n 0. Quel que soit N n + 1, nous avons
N
k=n+1
1
k α
N
k=n+1
k+1
k
dt
t α
N +1
n+1
dt
t α
1
1 − α
1
t α−1
N +1
n+1
1
1 − α
1
(N + 1) α−1 −
1
1 − α
1
(n + 1) α−1 .
En faisant tendre N vers +∞, nous obtenons l'inégalité
R n
1
α − 1
1
(n + 1) α−1 = m n .
En effet, lim
N →+∞
(N + 1) α−1 = +∞ car α > 1.
Pour n 1 le même raisonnement montre que
R n
1
α − 1
1
n α−1 = M n .
Nous sommes parvenus à encadrer le reste R n pour n 1. Comme le minorant et le
majorant sont équivalents, nous avons résolu la question.
Comme α − 1 est une constante, m n ∼ M n . Puisque R n est encadré entre
deux quantités équivalentes, il est lui-même équivalent à chacune de ces
deux quantités. Par conséquent, nous avons
R n ∼
1
α − 1
1
n α−1 .
1.b. Pour résoudre cette question, nous allons procéder de la même manière que précédemment et encadrer la somme S n entre deux intégrales. Il faudra bien sûr traiter
à part le cas α = 1 dans le calcul de l'intégrale puisqu'alors interviendra la fonction
logarithme.
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Chapitre 5 • Séries numériques