Rappelons comment elle fonctionne. Dans un premier temps, il faut parvenir à lire
la quantité 1/n α sur le graphe de la fonction t → 1/t α . Nous pouvons l'interpréter
comme l'aire du rectangle de base [n,n + 1] et de hauteur 1/n α , et l'on en déduit
qu'elle est minorée par
n+1
n
dt
t α , ou bien, si n 2, comme l'aire du rectangle de
base [n − 1,n] et de hauteur 1/n α , et l'on en déduit qu'elle est majorée par
n
n−1
dt
t α .
On somme ensuite ces inégalités afin d'obtenir un encadrement des sommes partielles ou du reste.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Séries numériques
n − 1 n n + 1
t
1
t α
1
n α
L'intégrale sur [n − 1,n] n'a de sens que pour n 2 !
Soit n 1. La fonction t → 1/t α est décroissante sur R ∗
+ . Par conséquent,
∀t ∈ [n,n + 1],
1
t α
1
n α
et
n+1
n
dt
t α
n+1
n
dt
n α =
1
n α .
De même, si n 2, nous avons
∀t ∈ [n − 1,n],
1
n α
1
t α
et
1
n α =
n
n−1
dt
n α
n
n−1
dt
t α .