Par conséquent, comme son terme général est positif et la suite de ses
sommes partielles majorée, la série
n0
v n est convergente (et de somme
inférieure à 2). Pourtant la suite de terme général n v n ne tend pas vers 0
car elle prend une infinité de fois la valeur 1.
Sans l'hypothèse de positivité, on pouvait trouver un contre-exemple plus simple,
par exemple
(−1) n
√
n
.
Exercice 5.9 : Équivalents et restes de séries
1.a. Soit un réel α > 1. Déterminer un équivalent simple, quand n tend vers +∞,
de R n =
+∞
k=n+1
1
k α .
1.b. Soit un réel α ∈]0,1]. Déterminer un équivalent simple, quand n tend vers
+∞, de S n =
n
k=1
1
k α .
2. Soit (u n ) n∈N et (v n ) n∈N deux suites réelles positives équivalentes. On suppose
que les séries convergent. Montrer que, lorsque n tend vers +∞ :
+∞
k=n+1
u k ∼
+∞
k=n+1
v k .
3. On pose H n =
n
k=1
1
k
. Démontrer qu'il existe un réel γ tel que
H n = ln(n) + γ + o(1).
Indication : On pourra chercher à exprimer la quantité ln(n + 1) comme une
somme partielle de série.
4. À l'aide des questions précédentes, montrer que H n = ln(n) + γ +
1
2n
+o
1
n
.
1.a. D'après le cours, nous savons que la série
1/n α converge, car α > 1.
L'exercice nous demande de calculer un équivalent du reste de cette série. La
démonstration de convergence du cours repose sur la comparaison entre la série et
l'intégrale de la fonction t → 1/t α . Nous allons reprendre ici cette méthode.
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Chapitre 5 • Séries numériques