On en déduit que
n
2
u n − −− →
n→+∞
0 et donc que
u n = o
1
n
.
2. Pour trouver un contre-exemple, nous cherchons une série
v n convergente à
termes positifs dont le terme général n'est pas négligeable devant 1/n. Pour que
cette dernière condition soit remplie, il nous suffit d'imposer que l'on puisse trouver
des indices n aussi grands que l'on veut pour lesquels v n 1/n. Autrement dit, nous
voulons qu'il existe un sous-ensemble infini E de N tel que, pour tout élément n
de E, v n 1/n. En dehors de l'ensemble E, nous n'avons rien imposé et pouvons
par exemple demander que, pour n /
∈ E, v n = 0. Nous pouvons choisir
l'ensemble E comme nous le voulons tant qu'il est infini. Nous pouvons espérer que
si ses éléments sont très espacés, la série
v n converge.
En résumé, la stratégie est la suivante. Nous allons choisir un ensemble E ⊂ N
infini et considérer la série dont le terme général v n vaut 1/n pour n ∈ E et 0 pour
n /
∈ E. Sa somme vaut donc
n∈E
1
n
.
Il ne nous reste plus qu'à choisir E de façon qu'elle soit finie. L'ensemble des puissances de 2 convient. Nous pourrions également choisir l'ensemble des puissances
de 3, des carrés, etc.
Considérons la suite (v n ) n∈N définie par
v n =
1/n
0
La série
n0
v n est à termes positifs.
Quel que soit N ∈ N, nous avons
N
n=0
v n =
E(log 2 (N ))
n=0
1
2 n
+∞
n=0
1
2 n
2.
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Chapitre 5 • Séries numériques
si n est une puissance de 2 ;
sinon.