La décroissance de la série se traduit par
u n u n−1 u n−2 · · · .
Puisque n u n est une somme de n termes, nous allons chercher à le majorer en fonction d'une somme partielle de la série. En utilisant la décroissance de la série, nous
obtenons
n u n = u n + · · · + u n (n fois)
u 1 + · · · + u n
+∞
k=1
u k .
De ce calcul, nous déduisons déjà que la suite (n u n ) est bornée et donc que
u n = O
1
n
.
L'énoncé demande une information plus précise. Nous allons utiliser la méthode
précédente pour majorer la quantité
n
2
u n , ainsi que l'indication nous y invite. La présence de n/2 plutôt que de n en facteur nous suggère de considérer une somme de
seulement n/2 termes. Nous allons donc garder les n/2 plus petits termes de la
somme précédente. Pour couvrir le cas où n est impair, la somme ira de E(n/2) + 1
à n. Ainsi, elle aura bien n/2 termes si n est pair et (n + 1)/2 si n est impair.
Puisque la suite (u n ) n∈N est décroissante, nous avons
n
2
u n
n
k=E(n/2)+1
u k
+∞
k=E(n/2)+1
u k .
Puisque la série de terme général u n est convergente, nous avons
+∞
k=E(n/2)+1
u k − −− →
n→+∞
0
car E(n/2) + 1 − −− →
n→+∞
+ ∞.
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Chapitre 5 • Séries numériques