• Supposons α > 1.
Nous avons
v n = o
2
(1−α)n
.
Or 2 (1−α)n est le terme général d'une série géométrique de raison 2 1−α .
Puisque α > 1, nous avons 2 1−α ∈]0,1[ et cette série est convergente. La
série
v n converge donc également.
• Supposons α = 1.
Pour tout n 1 nous avons alors
v n =
1
ln
β
(2)n β
.
D'après la question 2.a, la série
v n converge si, et seulement si, β > 1.
Pour résumer, nous avons montré que la série
n2
1
n α ln
β
(n)
converge si, et seulement si, nous nous trouvons dans l'un des deux cas suivants :
i) α > 1 ;
ii) α = 1 et β > 1.
Exercice 5.8 : Convergence et monotonie
1. Soit (u n ) n∈N une suite réelle positive décroissante telle que la série
n0
u n est
convergente. Montrer que u n = o(1/n).
Indication : on pourra chercher à majorer la quantité
n
2
u n .
2. Donner un contre-exemple dans le cas où l'on ne suppose pas la suite décroissante.
Remarquons que l'hypothèse de positivité est redondante. La série étant convergente, son terme général tend vers 0. La suite étant décroissante, cette limite est sa
borne inférieure, le terme général est donc nécessairement positif.
1. Nous souhaitons montrer que le terme général de la série est négligeable devant
1/n. Nous allons donc chercher à majorer u n et même n u n en utilisant les hypothèses : la décroissante de la suite (u n ) et la convergence de la série
u n .
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Chapitre 5 • Séries numériques