pour n = 0 en restant conforme aux hypothèses de la première question, par
exemple en posant u 0 = 1 afin que la suite de terme général u n soit toujours positive et décroissante. Il ne reste plus alors qu'à appliquer le résultat de la question
précédente.
Définissons une suite (u n ) n∈N par
u 0 = 1 ;
∀n ∈ N
∗
, u n =
1
n α .
Cette suite est positive et décroissante, puisque α > 0. Remarquons que la
série
u n converge si, et seulement si, la série
1/n α converge.
Avec les notations de la question précédente, nous avons
∀n ∈ N, v n = 2
n u 2 n = 2
n
1
(2 n ) α = 2
(1−α)n
=
2
1−α
n .
La série
v n est géométrique de raison 2 1−α . Elle converge si, et seulement si, cette raison appartient à l'intervalle ] − 1,1[, autrement dit si, et
seulement si, α > 1.
En utilisant le résultat de la question 1, on en déduit que la série
1/n α
converge si, et seulement si, α > 1.
2.b. Nous allons procéder ici de la même façon que précédemment. Le raisonnement n'est pas plus compliqué. Il faut néanmoins rester vigilant car il y aura plusieurs cas à distinguer.
Définissons une suite (u n ) n∈N par



u 0 = u 1 = 1 ;
∀n 2, u n =
1
n α ln
β
(n)
.
Cette suite est positive et décroissante, puisque α > 0 et β > 0.
Remarquons que la série
u n converge si, et seulement si, la série
1/(n α ln
β
(n)) converge.
Pour tout n 1 nous avons
v n = 2
n u 2 n = 2
n
1
(2 n ) α ln
β
(2 n )
=
2 (1−α)n
ln
β
(2)n β
.
Nous allons distinguer trois cas selon la position de α par rapport à 1.
• Supposons α < 1.
Nous avons alors 1 − α > 0 et la suite v n tend vers +∞. Par conséquent,
la série
n0 v n diverge grossièrement.
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Chapitre 5 • Séries numériques