Pour démontrer l'autre implication, nous allons utiliser la même technique. Il faut
cependant prendre garde à ne pas majorer trop naïvement les termes v n . En effet, en
procédant comme précédemment, nous obtenons
∀n ∈ N, v n = 2
n u 2 n
2 n
k=1
u k
et nous n'aboutirons à rien d'intéressant en sommant ces inégalités. Nous devons
donc regrouper moins de termes. Pour obtenir une expression proche de celle que
nous avons utilisée précédemment, nous allons en regrouper 2 n−1 . Cela revient à
majorer non plus v n , mais v n /2. Puisque les séries
v n et
v n /2 sont de même
nature, cela n'aura pas d'incidence sur le résultat final.
• Supposons que la série
u n converge.
Pour tout n ∈ N ∗ , nous avons
1
2
v n = 2
n−1 u 2 n
2 n
k=2 n−1 +1
u k ,
car la suite (u n ) n∈N est décroissante.
Soit N ∈ N ∗ . Nous avons
1
2
N
n=0
v n =
1
2
v 0 +
N
n=1
1
2
v n
1
2
v 0 +
N
n=1
2 n
k=2 n−1 +1
u k
1
2
v 0 +
2 N
k=2
u k
1
2
v 0 +
+∞
k=2
u k
La série
v n /2 est à termes positifs et ses sommes partielles sont majorées par une constante ; elle est donc convergente. On en déduit que la série
v n converge également.
2.a. Nous considérons ici la série
1/n α . Pour n ∈ N ∗ , nous posons donc
u n = 1/n α . La suite (u n ) n∈N ∗ est positive et décroissante, car α > 0.
L'énoncé de la première question concerne des séries définies à partir du rang
n = 0. Cependant, nous ne nous intéressons ici qu'à la convergence des séries et non
à la valeur exacte de leur somme ; nous pouvons donc prolonger la définition de u n
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Chapitre 5 • Séries numériques