2.a. Soit un réel α > 0. Retrouver le critère de Riemann pour la convergence de
n1
1
n α .
2.b. Soient deux réels strictements positifs α et β. À l'aide des deux questions
précédentes, déterminer une condition nécessaire et suffisante sur α et β pour
que la série
n2
1
n α ln
β
(n)
(série de Bertrand) soit convergente.
1. Les séries considérées ici sont à termes positifs ; pour de telles séries, il suffit de
majorer les sommes partielles par une constante pour montrer la convergence. Nous
allons essayer d'obtenir ces majorations en exploitant la décroissance de la suite de
terme général u n .
Nous pouvons faire apparaître v n en regroupant les termes de la série u n par paquets
de 2 n . En effet, la somme u 2 n + · · · + u 2 n+1 −1 compte 2 n termes qui sont tous inférieurs ou égaux au plus grand d'entre eux, qui est u 2 n . Ceci permet de majorer les
sommes partielles de la série de terme général u n .
• Supposons que la série
v n converge.
Pour tout n ∈ N, nous avons
2 n+1 −1
k=2 n
u k 2
n u 2 n = v n ,
car la suite (u n ) n∈N est décroissante.
Soit n ∈ N. Il existe n 0 ∈ N tel que 2 n 0 +1 − 1 n. Nous avons
n
k=0
u k
2 n 0 +1
k=0
u k
u 0 +
n 0
n=0
2 n+1 −1
k=2 n
u k
u 0 +
n 0
n=0
v n
u 0 +
+∞
n=0
v n .
La série
u k est à termes positifs et ses sommes partielles sont majorées
par une constante ; elle est donc convergente.
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Chapitre 5 • Séries numériques