Nous avons montré que
v n = −
1
n 2α + o
1
n 2α
∼ −
1
n 2α
qui est de signe constant. Par conséquent les séries de terme général v n et
1/n 2α sont de même nature, i.e. convergentes si α > 1/2 et divergentes si
α 1/2 .
Remarquons ici un point important : nous n'avons pas traité isolément le cas du
terme o(1/n 2α ). La raison en est qu'il n'est pas possible de déterminer sa nature en
général. Lorsque α > 1/2, nous savons que cette série converge, mais, lorsque
α 1/2 , on ne peut rien dire. Considérons par exemple le cas où α = 1/4 et intéressons-nous aux séries de terme général 1/n et 1/n 2 . Ces deux quantités sont bien
négligeables devant 1/n 2α = 1/
√
n , mais la première série diverge alors que la
seconde converge.
Pour cette raison, nous avons laissé ensemble les deux termes −1/n 2α et o(1/n 2α )
afin de faire apparaître un équivalent.
Finalement, deux cas se présentent :
(1) si α > 1/2, la série étudiée est somme de deux séries convergentes : elle
est convergente ;
(2) si α 1/2 , la série étudiée est somme d'une série convergente et d'une
série divergente : elle est divergente.
L'équivalent
(−1) n
n α + (−1) n
∼
1
n α
montre que la série converge absolument si, et seulement si, α > 1. Ceci ne permet cependant pas d'étudier le cas 0 < α 1 .
Exercice 5.7 : Un critère de convergence
Soit (u n ) n∈N une suite réelle positive décroissante.
Pour n ∈ N on pose v n = 2 n u 2 n .
1. Démontrer que les séries
n0
u n et
n0
v n sont de même nature.
2. Applications :
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Chapitre 5 • Séries numériques