On pourrait vouloir essayer d'utiliser le critère spécial des séries alternées.
Cependant, la série proposée ici ne vérifie pas toujours ses hypothèses.
Plus précisément, il est clair que le terme général est alterné et tend vers 0.
Cependant, la décroissance de sa valeur absolue est équivalente à la croissance de
n α + (−1) n . Clairement, cette suite n'est pas croissante si 0 < α < 1 . En effet,
dans ce cas, on a
((n + 1)
α
+ (−1)
n+1
) − (n
α
+ (−1)
n
) = n
α
((1 + 1/n)
α
− 1) + 2 (−1)
n+1
.
Or
n
α
((1 + 1/n)
α
− 1) ∼ α n
α−1
qui tend vers 0, donc
((n + 1)
α
+ (−1)
n+1
) − (n
α
+ (−1)
n
) ∼ 2 (−1)
n
qui n'est pas de signe constant.
Effectuons un développement asymptotique à deux termes du terme général
de la série en utilisant le développement limité au voisinage de 0 :
1
1 + x
= 1 − x + o(x).
(−1) n
n α + (−1) n =
(−1) n
n α



1
1 +
(−1) n
n α



=
(−1) n
n α
1 −
(−1) n
n α + o
1
n α
=
(−1) n
n α −
1
n 2α + o
1
n 2α
Nous sommes parvenus à décomposer le terme général comme somme de termes
dont nous connaissons la nature, d'après les théorèmes du cours.
La série de terme général (−1) n /n α est alternée et la valeur absolue de son
terme général tend vers 0 en décroissant. Par conséquent, la série de terme
général (−1) n /n α converge.
Posons
v n =
(−1) n
n α + (−1) n −
(−1) n
n α .
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Chapitre 5 • Séries numériques