Nous avons
+∞
n=1
1
(2n) 2 =
+∞
n=1
1
4n 2 =
1
4
+∞
n=1
1
n 2 .
Par conséquent, nous avons
+∞
n=1
1
(2n + 1) 2 =
3
4
+∞
n=1
1
n 2 =
3
4
π 2
6
=
π 2
8
.
Considérons maintenant la série
n1
(−1) n
n 2 . Elle est absolument convergente et
nous allons l'étudier en séparant ses termes d'ordre pair et impair.
La série
n1
(−1) n
n 2 est absolument convergente. D'après les questions 1 et 2
et le résultat précédent nous avons
+∞
n=1
(−1) n
n 2
=
+∞
n=1
(−1) 2n
(2n) 2 +
+∞
n=0
(−1) 2n+1
(2n + 1) 2
=
1
4
+∞
n=1
1
n 2 −
+∞
n=0
1
(2n + 1) 2
=
1
4
π 2
6
−
π 2
8
= −
π 2
12
.
Exercice 5.6 : Convergence et développement asymptotique
Soit un réel α > 0. Déterminer la nature de la série
+∞
n=2
(−1) n
n α + (−1) n .
On pourra commencer par déterminer un développement asymptotique à deux
termes du terme général de cette série.
Notons que si α était strictement négatif la série serait grossièrement divergente ; si
α était nul, elle ne serait même pas définie !
Les termes de la série à étudier n'étant pas de signe constant, le calcul d'un équivalent du terme général, autrement dit d'un développement à un terme, ne permettra
pas de conclure. Nous allons donc rechercher plus de précision et déterminer, ainsi
que l'énoncé nous le suggère, un développement à deux termes.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Séries numériques