En reprenant les notations de la question précédente, quel que soit n ∈ N,
nous avons
v n = u 2n =
(−1) 2n
2n + 1
=
1
2n + 1
et
w n = u 2n+1 =
(−1) 2n+1
2n + 2
= −
1
2n + 2
.
Par conséquent, les séries
n0 v n et
n0 w n divergent.
3. Il ne s'agit ici que de simples applications des résultats obtenus aux deux questions précédentes. Dans chaque exemple, nous chercherons à faire intervenir une
série absolument convergente, la série de ses termes pairs et celle de ses termes
impairs. Pour la première série, c'est immédiat.
La série
n1
1
n 2 est absolument convergente. D'après la question 1, les séries
n1
1
(2n) 2 et
n0
1
(2n + 1) 2 sont absolument convergentes et donc convergentes. En outre, d'après la question 2, elles satisfont l'égalité
+∞
n=1
1
(2n) 2 +
+∞
n=0
1
(2n + 1) 2 =
+∞
n=1
1
n 2 .
Nous commettons un léger abus ici puisque nous utilisons les résultats qui ont été
obtenus pour une série de la forme
n0 u n avec une série de la forme
n1 u n .
Cela ne change pas le fond du problème, mais il faut prendre garde aux indices :
la série qui contient les termes d'ordre impair doit encore commencer à l'indice 0 !
Remarquons que si l'on souhaite se ramener au cas étudié, il suffit de poser
u 0 = 0.
Pour connaître la valeur de
+∞
n=0
1
(2n + 1) 2 , il nous suffit, à présent, de connaître celle
de
+∞
n=1
1
n 2 , que l'énoncé nous donne, et celle de
+∞
n=1
1
(2n) 2 , qui s'en déduit.
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Chapitre 5 • Séries numériques