Nous nous intéressons, à présent, à la somme de ces séries. Intuitivement, le résultat suivant s'impose :
+∞
n=0
v n +
+∞
n=0
w n =
+∞
n=0
u n .
Démontrons-le.
Les séries
n0 u n ,
n0 v n et
n0 w n sont absolument convergentes et
donc convergentes. Quel que soit N ∈ N, nous avons
N
n=0
v n +
N
n=0
w n =
N
n=0
u 2n +
N
n=0
u 2n+1
=
2N +1
n=0
u n .
En passant à la limite quand N tend vers +∞, nous obtenons
+∞
n=0
v n +
+∞
n=0
w n =
+∞
n=0
u n .
2. On nous demande ici de trouver un exemple de série
n0 u n vérifiant certaines
propriétés. Tout d'abord, il faut qu'elle soit convergente, mais pas absolument
convergente. L'exemple classique de série vérifiant ces conditions est
n1 (−1) n /n. Cet exemple est à retenir ! Nous allons montrer qu'il satisfait toutes
les conditions requises. Pour coller à l'énoncé de l'exercice et avoir une série qui
possède un terme d'ordre 0, nous allons décaler les indices.
Posons
(u n ) n0 =
(−1) n
n + 1
n0
.
La série
n0 (−1) n /(n + 1) est alternée et la valeur absolue 1/(n + 1) de
son terme général tend vers 0 en décroissant. D'après le critère spécial des
séries alternées, cette série converge. En revanche, la série
n0
|u n | =
n0
1
n + 1
diverge et la série
n0 u n ne converge donc pas absolument.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
131
Chapitre 5 • Séries numériques