On peut démontrer que e −l =
√
2 π , par exemple avec les intégrales de Wallis.
Exercice 5.5 : Séparation des termes pairs et impairs
Soit
n0 u n une série absolument convergente. Pour n ∈ N on pose v n = u 2n et
w n = u 2n+1 .
1. Montrer que les séries
n0 v n et
n0 w n sont absolument convergentes.
Que dire de leurs sommes ?
2. Montrer que, si
n0 u n est convergente mais n'est pas absolument convergente, il peut arriver que
n0 v n et
n0 w n divergent.
3. Sachant que
+∞
n=1
1
n 2 =
π 2
6
, calculer
+∞
n=0
1
(2n + 1) 2 et
+∞
n=1
(−1) n
n 2 .
1. Traduisons l'énoncé : nous devons démontrer que les séries
n0 |v n | et
n0 |w n | convergent, sachant que la série
n0 |u n | converge. Puisque ces deux
séries sont à termes positifs, il suffit de montrer que leurs sommes partielles sont
majorées. Pour cela, nous allons les comparer aux sommes partielles de la série
n0 |u n |.
Par hypothèse, la série
n0 u n est absolument convergente. Cela signifie
que la série
n0 |u n | converge. Nous noterons S sa somme. Quel que soit
N ∈ N, nous avons
N
n=0
|v n | =
N
n=0
|u 2n |
2N
n=0
|u n |
S
Par conséquent, la série
n0 |v n | converge et la série
n0 v n est absolument convergente.
On montre de même que la série
n0 w n est absolument convergente.
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Chapitre 5 • Séries numériques