Dans l'étude des séries on préfère souvent simplifier les développements obtenus
en utilisant la notation O plutôt que o. Comme on le voit sur cet exemple, ceci
allège l'expression sans pour autant faire perdre l'information essentielle : une série
dont le terme général est un O(1/n 2 ) est convergente. Tout ce qui est fait par la
suite aurait pu être rédigé avec le développement plus complet de l'avant-dernière
égalité.
Nous pouvons déduire de l'égalité précédente des informations sur la série de terme
général ln((n + 1) α u n+1 ) − ln(n α u n ) en fonction de α . En particulier, elle
converge si, et seulement si, α = 1/2. Il nous faut maintenant en déduire des informations sur la suite (u n ) n∈N .
Les résultats que nous connaissons pour les séries permettent également d'étudier
les suites. On procède généralement de la façon suivante : pour étudier une suite
(a n ) n∈N , on considère la série
(a n+1 − a n ) . On constate que la suite converge
si, et seulement si, la série converge.
Nous allons utiliser cette remarque en redémontrant l'implication qui nous intéresse
ici.
Posons
α =
1
2
.
D'après le calcul précédent, nous avons alors
ln((n + 1)
α u n+1 ) − ln(n
α u n ) = O
1
n 2
donc la série
n0
(ln((n + 1)
α u n+1 ) − ln(n
α u n )) converge.
Pour tout N ∈ N ∗ , nous avons
N
n=1
(ln((n + 1)
α u n+1 ) − ln(n
α u n )) = ln((N + 1)
α u N +1 ) − ln(u 1 ).
Nous venons de démontrer que le membre de gauche converge. On en déduit
que la suite (ln(n α u n )) n∈N ∗ converge. Notons l ∈ R sa limite. Nous avons
alors
lim
n→∞
n
α u n = e
l
> 0.
Finalement, nous avons montré que les suites (u n ) n∈N ∗ et (e l n −α ) n∈N ∗ sont
équivalentes. En d'autres termes,
n! ∼ e
−l n
n+ 1
2 e
−n
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
129
Chapitre 5 • Séries numériques