Nous avons
∀n ∈ N
∗
, v n = n ln(n) − n − ln(n!).
On en déduit que, pour tout n ∈ N ∗ , nous avons
v n+1 − v n = (n + 1) ln(n + 1) − (n + 1) − ln((n + 1)!)
−n ln(n) + n + ln(n!)
= (n + 1) ln(n + 1) − n ln(n) − 1 − ln
(n + 1)!
n!
= n ln(n + 1) − n ln(n) − 1
= n ln
1 +
1
n
− 1
= n
1
n
−
1
2n 2 +
1
3n 3 + o
1
n 3
− 1
= −
1
2n
+
1
3n 2 + o
1
n 2
.
Pour obtenir un développement à deux termes il aurait été naturel d'effectuer un
développement limité à l'ordre 2 du logarithme en 0. Cependant, la simplification
due à la présence du terme – 1 nous aurait fait perdre un terme. Lorsque ceci se
produit et que l'on ne l'avait pas prévu, il suffit de reprendre les développements
limités avec un terme de plus.
2. Nous allons commencer par effectuer les mêmes calculs que dans la question précédente en remplaçant u n par n α u n et en faisant apparaître v n+1 − v n
Pour tout n ∈ N ∗ , nous avons
ln(n
α u n ) = α ln (n) + v n
et
ln((n + 1) α u n+1 ) − ln(n α u n ) = α ln(n + 1) + v n+1 − α ln(n) − v n
= α ln
1 +
1
n
+ v n+1 − v n
=
α
n
−
α
2n 2 −
1
2 n
+
1
3n 2 + o
1
n 2
=
2α − 1
2n
+ O
1
n 2
.
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Chapitre 5 • Séries numériques