En faisant tendre N vers +∞, nous obtenons finalement
+∞
n=0
n 2
2 n =
+∞
k=0
(k + 1) 2
2 k+1 .
Pour tout k ∈ N, nous avons
(k + 1) 2
2 k+1 =
1
2
k 2
2 k +
2k
2 k +
1
2 k
Les séries de termes généraux (k + 1) 2 /2 k+1 , k 2 /2 k , k/2 k et 1/2 k convergent. Par conséquent, nous avons
+∞
k=0
k + 1
2 k+1 =
1
2
+∞
k=0
k 2
2 k + 2
+∞
k=0
k
2 k +
+∞
k=0
1
2 k
=
1
2
+∞
k=0
k 2
2 k + 4 + 2
=
1
2
+∞
k=0
k 2
2 k + 3
d'après la question précédente. On en déduit que la somme cherchée est
solution de l'équation x = x/2 + 3 et donc que
+∞
n=0
n 2
2 n = 6.
Exercice 5.4 : Formule de Stirling
Pour n ∈ N, on pose u n =
n n e −n
n!
et v n = ln(u n ).
1. Déterminer un développement asymptotique à deux termes de v n+1 − v n .
2. En déduire un réel α tel que n α u n ait une limite réelle non nulle. Conclure.
1. Dans cette première question, on demande d'effectuer un calcul classique de
développement asymptotique. L'idée est de faire apparaître des développements
limités de fonction usuelles. Pour cela, nous allons simplifier au maximum les factorielles à l'aide des logarithmes.
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Chapitre 5 • Séries numériques