Avant de déduire l'égalité entre les sommes de l'égalité entre les termes généraux,
il faut impérativement vérifier que les séries convergent ! Si ce n'était pas le cas,
l'inégalité finale n'aurait aucun sens.
Nous reconnaissons une somme de série géométrique :
+∞
k=0
1
2 k =
1
1 −
1
2
= 2.
Regroupons, à présent, les égalités obtenues. Nous avons
+∞
n=0
n
2 n =
+∞
k=0
k + 1
2 k+1
=
1
2
+∞
k=0
k
2 k +
+∞
k=0
1
2 k
=
1
2
+∞
n=0
n
2 n + 1.
On en déduit que
+∞
n=0
n
2 n = 2.
4. Nous allons utiliser ici la même méthode que pour calculer la somme de la série
précédente. Les calculs seront simplement un peu plus longs.
Nous avons
(n + 1) 2
2 n+1
2 n
n 2 =
1
2
n + 1
n
2
− −− →
n→+∞
1
2
< 1.
D'après la règle de d'Alembert, la série
n0
n 2
2 n converge.
Soit N ∈ N ∗ . En effectuant le changement d'indice n = k + 1 (et donc
k = n − 1), nous obtenons
N
n=0
n 2
2 n =
N −1
k=−1
(k + 1) 2
2 k+1 =
N −1
k=0
(k + 1) 2
2 k+1 .
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Chapitre 5 • Séries numériques