La suite des sommes partielles tend donc vers 1/2(1 + 1/2) = 3/4.
Autrement dit,
+∞
n=2
1
n 2 − 1
=
3
4
.
3. Nous allons utiliser l'indication de l'énoncé qui nous suggère d'effectuer un changement d'indice. Nous allons partir d'une série indexée par n et la transformer en
une série indexée par k avec la relation n = k + 1.
Nous avons
n + 1
2 n+1
2 n
n
=
n + 1
2n
− −− →
n→+∞
1
2
< 1.
D'après la règle de d'Alembert, la série
n0
n
2 n converge.
Soit N ∈ N ∗ . En effectuant le changement d'indice n = k + 1 (et donc
k = n − 1), nous obtenons
N
n=0
n
2 n =
N −1
k=−1
k + 1
2 k+1 =
N −1
k=0
k + 1
2 k+1 .
En faisant tendre N vers +∞, nous obtenons finalement
+∞
n=0
n
2 n =
+∞
k=0
k + 1
2 k+1 .
Nous devons maintenant utiliser l'égalité obtenue. Pour ce faire, remarquons que la
série de départ,
n/2 n , apparaît dans la série qui figure au second membre. Nous
allons rendre cette dépendance explicite afin d'en déduire une équation vérifiée par
la somme cherchée.
Pour tout k ∈ N, nous avons
k + 1
2 k+1 =
1
2
k
2 k +
1
2 k
.
Les séries de termes généraux (k + 1)/2 k+1 , k/2 k et 1/2 k convergent. Par
conséquent, nous avons
+∞
k=0
k + 1
2 k+1 =
1
2
+∞
k=0
k
2 k +
+∞
k=0
1
2 k
.
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Chapitre 5 • Séries numériques