Nous pouvons aussi voir la simplification de la somme en l'écrivant
N
n=1
1
n
−
1
n + 1
= 1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+ · · · +
1
N
−
1
N + 1
.
On voit en effet que les termes se simplifient deux à deux: c'est une somme téléscopique.
Enfin, il nétait pas nécessaire de démontrer la convergence a priori : nous n'avons
manipulé que des sommes finies pour aboutir à la somme de la série. Nous avons
en fait redémontré la convergence en calculant la somme.
2. Dans ce deuxième exemple, il s'agit encore d'une série donnée par la somme des
valeurs aux entiers d'une fraction rationnelle. Nous allons procéder comme à la
question précédente. Ici encore, la décomposition en éléments simples est très facile
à calculer :
1
X 2 − 1
=
1
2
1
X − 1
−
1
X + 1
.
Nous avons
1
n 2 − 1
∼
1
n 2 .
Par conséquent, la série
n2
1/(n
2
− 1) converge.
Remarquons que
∀n 2,
1
n 2 − 1
=
1
2
1
n − 1
−
1
n + 1
.
Pour tout N 2, nous avons donc
N
n=2
1
n 2 − 1
=
N
n=2
1
2
1
n − 1
−
1
n + 1
=
1
2
N
n=2
1
n − 1
−
N
n=2
1
n + 1
=
1
2
N −1
n=1
1
n
−
N +1
n=3
1
n
=
1
2
1 +
1
2
−
1
N
−
1
N + 1
.
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Chapitre 5 • Séries numériques