Il ne faut surtout pas écrire
+∞
n=1
1
n(n + 1)
=
+∞
n=1
1
n
−
+∞
n=1
1
n + 1
.
En effet, les deux séries qui figurent dans le membre de droite divergent et cette
égalité n'a même pas de sens !
Pour utiliser la décomposition obtenue, nous devrons donc revenir à la définition de
la somme de la série comme limite des sommes partielles. Les sommes partielles
étant des sommes finies, il sera licite de les couper en deux en séparant les termes
1/n et 1/(n + 1).
Nous avons
1
n(n + 1)
∼
1
n 2 .
Par conséquent, la série
n1
1
n(n + 1)
converge.
Remarquons que
∀n 1,
1
n(n + 1)
=
1
n
−
1
n + 1
.
Pour tout N 1, nous avons donc
N
n=1
1
n(n + 1)
=
N
n=1
1
n
−
1
n + 1
=
N
n=1
1
n
−
N
n=1
1
n + 1
=
N
n=1
1
n
−
N +1
n=2
1
n
= 1 −
1
N + 1
.
La suite des sommes partielles tend donc vers 1. Autrement dit,
+∞
n=1
1
n(n + 1)
= 1.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Séries numériques