Par conséquent, la suite (|u n |) nn 2 est décroissante.
Finalement, nous avons montré que la suite (u n ) nn 2 est alternée et que la
valeur absolue de son terme général tend vers 0 en décroissant. Le critère
spécial des séries alternées assure alors que la série
nn 2
u n converge. Par
conséquent, nous avons montré que
la série
n0
sin
2πn!
e
converge.
Exercice 5.3 : Quelques calculs explicites de sommes de séries
Calculer la somme de chacune des séries suivantes :
1.
n1
1
n(n + 1)
2.
n2
1
n 2 − 1
3.
n0
n
2 n (on pourra effectuer le changement d'indice n = k + 1)
4.
n0
n 2
2 n
Cet exercice est consacré à des calculs explicites de sommes de séries. Dans aucune
des questions, il n'est difficile de démontrer la convergence de la série. Il est néanmoins indispensable de le faire ! On peut soit la démontrer a priori, afin de pouvoir
manipuler les sommes infinies dans la suite des calculs, soit la constater a posteriori
en démontrant que la suite des sommes partielles est convergente.
Dans les chapitres consacrés aux séries de Fourier et aux séries entières vous verrez
d'autres méthodes de calcul de sommes de séries.
Signalons que le calcul explicite de la somme d'une série est parfois difficile et souvent impossible. Il ne faut l'effectuer que lorsque cela est explicitement demandé.
1. La série est clairement convergente car son terme général est équivalent à 1/n 2 .
De plus, elle est la somme des valeurs aux entiers de la fraction rationnelle
1/(X (X + 1)). Nous allons commencer par utiliser l'outil classique pour l'étude des
fractions rationnelles, la décomposition en éléments simples. Ici, elle est particulièrement aisée à calculer :
1
X (X + 1)
=
1
X
−
1
X + 1
.
Nous obtenons donc
+∞
n=1
1
n(n + 1)
=
+∞
n=1
1
n
−
1
n + 1
.
122
Chapitre 5 • Séries numériques
Finalement, nous avons montré que la suite (u n ) nn 2 est alternée et que la
valeur absolue de son terme général tend vers 0 en décroissant. Le critère
spécial des séries alternées assure alors que la série
nn 2
u n converge. Par
conséquent, nous avons montré que
la série
n0
sin
2πn!
e
converge.
Exercice 5.3 : Quelques calculs explicites de sommes de séries
Calculer la somme de chacune des séries suivantes :
1.
n1
1
n(n + 1)
2.
n2
1
n 2 − 1
3.
n0
n
2 n (on pourra effectuer le changement d'indice n = k + 1)
4.
n0
n 2
2 n
Cet exercice est consacré à des calculs explicites de sommes de séries. Dans aucune
des questions, il n'est difficile de démontrer la convergence de la série. Il est néanmoins indispensable de le faire ! On peut soit la démontrer a priori, afin de pouvoir
manipuler les sommes infinies dans la suite des calculs, soit la constater a posteriori
en démontrant que la suite des sommes partielles est convergente.
Dans les chapitres consacrés aux séries de Fourier et aux séries entières vous verrez
d'autres méthodes de calcul de sommes de séries.
Signalons que le calcul explicite de la somme d'une série est parfois difficile et souvent impossible. Il ne faut l'effectuer que lorsque cela est explicitement demandé.
1. La série est clairement convergente car son terme général est équivalent à 1/n 2 .
De plus, elle est la somme des valeurs aux entiers de la fraction rationnelle
1/(X (X + 1)). Nous allons commencer par utiliser l'outil classique pour l'étude des
fractions rationnelles, la décomposition en éléments simples. Ici, elle est particulièrement aisée à calculer :
1
X (X + 1)
=
1
X
−
1
X + 1
.
Nous obtenons donc
+∞
n=1
1
n(n + 1)
=
+∞
n=1
1
n
−
1
n + 1
.
122
Chapitre 5 • Séries numériques