car la série
(−1) k /k! vérifie les hypothèses du critère spécial des séries
alternées. On en déduit, d'après l'inégalité triangulaire :
2πn!
+∞
k=n+1
(−1) k
k!
2π(−1) n+1
n + 1
−
2πn!
+∞
k=n+2
(−1) k
k!
2π
n + 1
−
2π
(n + 1)(n + 2)
2π
n + 2
.
Finalement, nous avons montré que
2π(n + 1)!
+∞
k=n+2
(−1) k
k!
2πn!
+∞
k=n+1
(−1) k
k!
.
Puisque la suite (u n ) tend vers 0, il existe n 2 n 1 tel que
∀n n 2 , u n = 2πn!
+∞
k=n+1
(−1) k
k!
∈]
π
2
,
π
2
[.
Remarquons que
∀x ∈] −
π
2
,
π
2
[, |sin(x)| = sin(|x|)
et que la fonction sinus est croissante sur l'intervalle [0,π/2]. Nous avons
donc, pour n n 2 :
sin
2π(n + 1)!
e
=
sin
2π(n + 1)!
+∞
k=n+2
(−1) k
k!
= sin
2π(n + 1)!
+∞
k=n+2
(−1) k
k!
sin
2πn!
+∞
k=n+1
(−1) k
k!
=
sin
2πn!
+∞
k=n+1
(−1) k
k!
=
sin
2πn!
e
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Séries numériques