Ce n'est pas parce qu'une suite est équivalente à une suite décroissante qu'elle est
elle-même décroissante ! Par exemple, nous avons
1
n
∼
1
n + 2(−1) n ,
mais la suite (1/n) n1 est décroissante, alors que la suite (1/(n + 2(−1) n )) n1 ne
l'est pas.
L'équivalent de sin(2πn!/e) que nous avons obtenu ne permet donc pas de conclure.
Il nous faut rechercher des informations plus précises permettant de comparer les
termes sin(2πn!/e) et sin(2π(n + 1)!/e), autrement dit, les termes
sin
2πn!
+∞
k=n+1 (−1) k /k!
et sin
2π(n + 1)!
+∞
k=n+2 (−1) k /k!
. Puisque la
fonction sinus est croissante au voisinage de 0, il nous suffira de comparer les
arguments de la fonction sinus.
Nous allons utiliser le caractère alterné de la série
(−1) k /k! ; nous savons qu'il
en découle une majoration explicite des restes. Nous cherchons à montrer que la
valeur absolue du reste d'indice n + 2 est inférieure à celle du reste d'indice n + 1.
Nous allons chercher à majorer le reste d'indice n + 2 et à minorer celui d'indice
n + 1. Commençons par la majoration.
Soit n 0. Nous avons
2π(n + 1)!
+∞
k=n+2
(−1) k
k!
2π(n + 1)!
(−1) n+2
(n + 2)!
2π
n + 2
,
car la série
(−1) k /k! vérifie les hypothèses du critères spécial des séries
alternées.
Il nous faut maintenant minorer le terme d'indice n + 1, mais le résultat sur les
séries alternées ne fournit que des majorations du reste. Nous allons utiliser la
même manipulation que dans la première question en isolant le premier terme du
reste et en majorant la différence.
Nous avons
2πn!
+∞
k=n+1
(−1) k
k!
=
2π(−1) n+1
n + 1
+ 2πn!
+∞
k=n+2
(−1) k
k!
et
2πn!
+∞
k=n+2
(−1) k
k!
2πn!
(−1) n+2
(n + 2)!
2π
(n + 1)(n + 2)
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Chapitre 5 • Séries numériques