3.a. Pour commencer, nous allons utiliser la même méthode qu'à la question précédente. Attention cependant: c'est e −1 que nous allons remplacer par son expression
et non pas e. En effet, introduire une série au dénominateur ne nous serait d'aucune
utilité. Par le même raisonnement que précédemment, nous obtenons
sin(2πn!/e) = sin
2πn!
+∞
k=n+1
(−1) k
k!
∼ 2π
(−1) n+1
n + 1
.
Puisque le second terme de l'équivalent n'est pas de signe constant, nous ne pouvons
pas conclure directement quant à la nature de la série et il nous faudra procéder
d'une autre façon. Ici, c'est le critère spécial des séries alternées qui est proposé par
l'énoncé.
Soit n ∈ N. Par le même raisonnement qu'à la question précédente, nous
avons
sin
2πn!
e
= sin(2πe −1 n!)
= sin
2πn!
+∞
k=0
(−1) k
k!
= sin
2πn!
+∞
k=n+1
(−1) k
k!
.
D'après la question 1, nous avons
2πn!
+∞
k=n+1
(−1) k
k!
∼ 2π
(−1) n+1
n + 1
et donc, étant donné que sin(x) ∼ x quand x tend vers 0 et que les termes
de l'équivalence précédente tendent bien vers 0 :
sin
2πn!
e
∼ 2π
(−1) n+1
n + 1
.
Ceci montre que sin(2πn!/e) tend vers 0 quand n tend vers +∞ et est du
même signe que (−1) n+1 /(n + 1) à partir d'un certain rang n 1 . Autrement
dit, pour n n 1 , (−1) n sin(2πn!/e) est de signe constant. La série est
donc alternée à partir du rang n 1 .
3.b. Les deux résultats que nous venons d'obtenir étaient assez faciles à démontrer
en utilisant les méthodes de la question 2 et l'équivalent de la question 1. La question de la décroissance de la suite (u n ) est plus subtile.
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Chapitre 5 • Séries numériques