Par conséquent, nous avons montré que
+∞
k=n+1
a k
k!
= exp(a) −
n
k=0
a k
k!
∼
a n+1
(n + 1)!
.
2. Afin d'utiliser le résultat obtenu à la question précédente, nous allons remplacer e
par son développement en série. Pour n ∈ N nous avons
2πen! = 2π
+∞
k=0
n!
k!
.
Remarquons que pour tout k n le nombre rationnel n!/k! est en fait un entier.
Nous pourrons donc enlever la quantité 2πn!/k! dans le calcul de sin(2π en!) .
Soit n ∈ N. Nous avons
sin(2πen!) = sin
2π
+∞
k=0
n!
k!
= sin
2π
n
k=0
n!
k!
+ 2πn!
+∞
k=n+1
1
k!
= sin
2πn!
+∞
k=n+1
1
k!
,
car
n
k=0
n!
k!
est un entier.
D'après la question précédente, nous avons
+∞
k=n+1
1
k!
∼
1
(n + 1)!
et donc, étant donné que sin(x) ∼ x quand x tend vers 0 :
sin(2πen!) = sin
2πn!
+∞
k=n+1
1
k!
∼
2π
n + 1
.
Le second terme de l'équivalent étant positif, les séries
sin(2π en!) et
2π/(n + 1) sont de même nature. Par conséquent :
la série
n0
sin(2π en!) diverge.
118
Chapitre 5 • Séries numériques