f (v) −
m
k=0
f (k) (u)
k!
(v − u)
k
M|v − u| m+1
(m + 1)!
Il est naturel de chercher à appliquer cette formule avec la fonction exponentielle,
les points u = 0 et v = a et l'ordre m = n. Pour faciliter ce raisonnement préliminaire, nous supposerons que a > 0. Nous traiterons le cas général dans la rédaction
finale. Nous avons
∀x ∈ [0,a], |exp
(n+1)
(x)| = |exp(x)| exp(a).
En appliquant la formule de Taylor-Lagrange, nous obtenons
exp(a) −
n
k=0
exp (k) (0)
k!
a
k
e
a a n+1
(n + 1)!
,
c'est-à-dire
e
a
−
n
k=0
a k
k!
e
a a n+1
(n + 1)!
.
Nous obtenons une majoration de la quantité à étudier, mais pas mieux. Pour en
déterminer un équivalent, il nous faut être plus précis et nous allons donc écrire l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre n + 1 au lieu de n.
Soit n ∈ N. La fonction exponentielle est de classe C ∞ sur R. Elle est également croissante et positive sur R. Par conséquent, si a 0, nous avons
∀x ∈ [0,a], |exp(x)| = exp(x) exp(a)
et, si a 0,
∀x ∈ [a,0], |exp(x)| = exp(x) exp(0) = 1.
Posons M = max(e a ,1). En appliquant l'inégalité de Taylor-Lagrange à la
fonction exp entre les points 0 et a à l'ordre n + 1, nous obtenons
exp(a) −
n
k=0
a k
k!
−
a n+1
(n + 1)!
M
|a| n+2
(n + 2)!
.
Remarquons que la quantité Ma n+2 /(n + 2)! est négligeable devant
a n+1 /(n + 1)! quand n tend vers +∞. Si a = 0, c'est évident et, si
a = / 0, nous avons
M
a n+2
(n + 2)!
(n + 1)!
a n+1 = M
a
n + 2
− −− →
n→+∞
0.
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Chapitre 5 • Séries numériques