Il faut pousser le développement asymptotique aussi loin que nécessaire pour
connaître la nature de chacune des séries qui interviennent. Il n'aurait, par
exemple, pas été suffisant d'écrire
1 +
1
n
− 1 +
(−1) n − 1
2n
=
(−1) n
2n
+ o
1
n
.
En effet, une série dont le terme général est négligeable devant 1/n peut être
convergente (c'est le cas de
1/n 2 ) ou divergente (c'est le cas de
1/(nln(n)),
cf. exercice 5.7). Cette écriture ne suffit donc pas pour conclure. En revanche, le
développement plus précis où l'on remplace o(1/n) par O(1/n 2 ) fournit le résultat. Nous aurions également pu utiliser un développement à l'ordre o(1/n 2 ), cela
nous aurait simplement fournit des termes en plus qui n'auraient pas eu d'influence
sur le résultat.
Exercice 5.2 : Nature de séries II
1. Soit a ∈ R. À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange, déterminer un équivalent quand n tend vers +∞ de
+∞
k=n+1
a k
k!
.
2. Déterminer la nature de la série
n0
sin(2πen!).
3. Pour n ∈ N, posons u n = sin
2πn!
e
.
3.a. Montrer qu'il existe n 1 ∈ N tel que la suite (u n ) nn 1 soit alternée et tende
vers 0.
3.b. Montrer qu'il existe n 2 ∈ N tel que la suite (|u n |) nn 2 soit décroissante.
Conclure.
1. Identifions tout d'abord la suite dont on nous demande de déterminer un équivalent : il faut reconnaître immédiatement un reste de la série
k0 a k /k! dont la
somme est e a . En d'autres termes, nous avons
∀n ∈ N,
+∞
k=n+1
a k
k!
= e
a
−
n
k=0
a k
k!
.
L'énoncé nous suggère d'utiliser l'inégalité de Taylor-Lagrange. Rappelons qu'elle
s'énonce de la façon suivante : soient m ∈ N, I un intervalle, f une fonction m + 1
fois dérivable sur I telle que f (m+1) soit bornée. Soient (u,v) ∈ I 2 et M ∈ R + tels
que pour tout x compris entre u et v, nous ayons | f (n+1) (x)| M. Alors nous avons
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Chapitre 5 • Séries numériques