revanche, n'a rien d'évident. Une stratégie pour montrer que la suite (ln(n)/n) n∈N
décroit (éventuellement à partir d'un certain rang) consiste à montrer que la fonction x → ln(x)/x décroit (éventuellement sur un intervalle de la forme ]a,+∞[).
Nous allons donc étudier cette fonction.
Posons
f : ]0,+∞[ →
R
x
→
ln(x)
x
.
Cette fonction est dérivable sur R ∗
+ et nous avons
∀x > 0, f
(x) =
1
x x − ln(x)
x 2
=
1 − ln(x)
x 2
.
Par conséquent,
∀x e, f
(x) 0
et la fonction f est décroissante sur l'intervalle [e,+∞[.
Puisque e 3, la suite (ln(n)/n) n3 est décroissante. Les théorèmes de comparaison usuels nous assurent qu'elle tend vers 0. En outre, la série
n3
(−1)
n ln(n)
n
est alternée. D'après le critère spécial des séries alternées,
elle converge. Puisque la nature d'une série reste inchangée lorsque l'on
modifie un nombre fini de termes, la série
n1
(−1)
n ln(n)
n
est également
convergente.
7. Ici, le terme général est d'apparence compliquée. Nous allons calculer les premiers termes de son développement asymptotique en espérant que cela suffise à
conclure.
Nous avons
1 +
1
n
− 1 +
(−1) n − 1
2n
= 1 +
1
2n
− 1 +
(−1) n − 1
2n
+ O
1
n 2
=
(−1) n
2n
+ O
1
n 2
.
La série de terme général (−1) n /2n converge, d'après le critère spécial des
séries alternées. Une série dont le terme général est dominé par 1/n 2
converge également, car la série
1/n 2 est à termes positifs et converge.
La série de l'énoncé est donc somme de deux séries convergentes. On en
déduit qu'elle converge.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 5 • Séries numériques