La série
n1
1
3n
est divergente et à termes positifs. L'équivalent ci-dessus
assure que la série
n1
n 2 − 3n
3n 3 + 5n + 8
est de même nature : elle diverge.
De nouveau, il est indispensable de s'assurer que la série à laquelle on compare est
à termes positifs ! Nous avons, par exemple,
(−1) n
√
n
∼
(−1) n
√
n
+
1
n
,
mais la série
n1
(−1) n
√
n
converge (par le critère pour les séries alternées) alors que
la série
n1
(−1) n
√
n
+
1
n
diverge (c'est la somme d'une série convergente et
d'une série divergente).
Que l'on utilise O, o ou ∼, l'hypothèse de signe constant (à partir d'un certain
rang) est incontournable.
6. Ici le terme général de la série n'est pas de signe constant. Nous ne pourrons donc
pas utiliser les théorèmes de comparaison. En revanche, l'alternance des signes nous
incite à utiliser le critère spécial des séries alternées. Rappelons-le : si
u n est une
série à termes réels telle que :
i) la suite ((−1) n u n ) n∈N est de signe constant (l'on dit alors que la série est alternée) ;
ii) la suite (|u n |) n∈N est décroissante ;
iii) la suite (u n ) n∈N tend vers 0 ;
alors la série
u n converge. Le théorème du cours fournit également des informations sur les restes de ces séries : pour tout N ∈ N, le reste
R N =
+∞
n=N +1
u n
est du signe de u N +1 et vérifie
|R N | |u N +1 |.
De plus, il suffit que les deux premiers points soient vérifiés à partir d'un certain
rang pour encore avoir la convergence (on perd cependant le résultat relatif au
reste).
Nous voulons ici étudier la série
n1
(−1)
n ln(n)
n
. On vérifie immédiatement que
cette série est alternée et que son terme général tend vers 0. La décroissance, en
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Chapitre 5 • Séries numériques