Cette quantité tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ . Le critère de d'Alembert
assure alors que la série
2 n
n!
converge.
Si vous connaissez le développement en série entière de la fonction exponentielle,
vous retrouvez cette convergence et la valeur de la somme : e 2 .
4. Dans ce cas, nous ne pourrons pas exploiter le critère de d'Alembert car le quotient des termes généraux ne possède pas de limite, sauf pour quelques valeurs particulières de θ. La forme du terme général nous invite cependant à utiliser une comparaison à une série de Riemann. Rappelons que la série
n1
1
n α
converge si, et seulement si, α > 1.
La suite (3 cos(2nθ − 1)) n∈N est bornée. Par conséquent, nous avons
3 cos (2nθ − 1)
n 2
= O
1
n 2
.
La série
n1
1
n 2 est convergente et à termes positifs. La comparaison cidessus assure que la série
n1
3 cos (2nθ − 1)
n 2
converge également.
Rappelons que ce genre de résultat ne vaut que si l'on compare à une série à termes
positifs à partir d'un certain rang (ou négatifs à partir d'un certain rang). Le contreexemple typique est le suivant : nous avons
1
n
= O
(−1) n
n
,
mais la série
n1
1
n
diverge alors que la série
n1
(−1) n
n
converge (par le critère
spécial des séries alternées).
5. Ici le terme général de la série est une fraction rationnelle en n. Nous pouvons
donc facilement comparer cette série à une série de Riemann.
Nous avons
n 2 − 3n
3n 3 + 5n + 8
∼
1
3n
.
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Chapitre 5 • Séries numériques