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Chapitre 5 • Séries numériques
2. Aucun équivalent simple ne semble pouvoir permettre de conclure. À la vue de
la représentation graphique de la fonction sinus, on peut deviner que la suite de
terme général sin(n) ne possède pas de limite. En ce qui concerne la convergence
de la série, la seule information qui nous intéresse est qu'elle ne tende pas vers 0 ;
la série sera alors grossièrement divergente.
Nous allons montrer que la série
sin(n) diverge grossièrement, autrement dit, que la suite (sin(n)) n∈N ne tend pas vers 0.
Supposons, par l'absurde, que la suite (sin(n)) n∈N tende vers 0. Pour tout
n ∈ N, nous avons
cos(2n) = cos
2
(n) − sin
2
(n) = 1 − 2 sin
2
(n).
Par conséquent, la suite (cos(2n)) n∈N tend vers 1.
Pour tout n ∈ N, nous avons
cos(2(n + 1)) = cos(2n + 2) = cos(2n) cos(2) − sin(2n) sin(2).
En passant à la limite, on obtient 1 = cos(2), ce qui est absurde, car
0 < 2 < 2 π.
Nous venons de montrer que la suite (sin(n)) n∈N ne tend pas vers 0. Par
conséquent, la série
sin(n) diverge.
En menant ce raisonnement plus loin, il est possible de montrer que la suite
(sin(n)) n∈N ne possède pas de limite, mais c'est un peu fastidieux. Puisqu'il nous
suffit de savoir qu'elle ne tend pas vers 0, nous nous en dispenserons.
3. Nous sommes ici en présence d'une série dont le terme général est présenté de
façon multiplicative (c'est-à-dire que l'on obtient naturellement le terme d'indice
n + 1 comme le produit du terme d'indice n par une autre quantité). C'est un cas
dans lequel le critère de d'Alembert est tout indiqué. Rappelons-le : si
u n est une
série à termes réels ou complexes,
i) si lim
n→∞
|u n+1 |
|u n |
< 1 , alors la série converge ;
ii) si lim
n→∞
|u n+1 |
|u n |
> 1 , alors la série diverge ;
iii) dans les autres cas (limite égale à 1 ou absence de limite), il faut mener une
étude plus précise.
Pour tout n ∈ N, nous avons
2 n+1
(n + 1)!
n!
2 n =
2
n + 1
.