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Exercice 5.1 : Nature de séries
Déterminer la nature des séries suivantes.
1.
n0
sin
n
(θ), avec θ ∈ R
2.
n0
sin(n)
3.
n0
2 n
n!
4.
n1
3 cos(2nθ − 1)
n 2
, avec θ ∈ R
5.
n0
n 2 − 3n
3n 3 + 5n + 8
6.
n1
(−1)
n ln(n)
n
7.
n1
1 +
1
n
− 1 +
(−1) n − 1
2n
1. On reconnaît dans cette première série une série géométrique.
La série
sin
n
(θ) est une série géométrique de raison sin(θ). Elle
converge donc si, et seulement si, |sin(θ)| < 1. Nous devons donc distinguer deux cas.
• Si α =
π
2
mod π, |sin(θ)| = 1 et la série
sin
n
(θ) diverge.
• Si α = /
π
2
mod π, |sin(θ)| < 1 et la série
sin
n
(θ) converge.
Dans ce dernier cas, nous savons même que sa somme est
+∞
n=0
sin
n
(θ) =
1
1 − sin(θ)
.
Séries numériques
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