6. L’INTERPOLATION
on en déduit que :
6a k3 = ak ~ ak-1
et
puis
Q;(x) = Mk - Mk ;ll/ih-lak + Mk ;;-lx;
cette dernière expression se transforme en :
Q;(x) = [M/&k - M!&+l - M!A +
MLlak +
M!&X - Mk-1X] /hk
d’où nous tirons
Q:(X) = [n/r,(x - ak&1) - Mkpl(X - ak)] /hk.
Maintenant, nous allons intégrer successivement deux fois cette expression puis déterminer les
deux constantes d’intégration au moyen des deux conditions :
Qk(akp1)
= bk-1
et
&k(ak) = bk.
Nous pouvons alors écrire :
hkQk(x)
= Mk (x - T-l)” - ibfk-, [(x -;k’3] + EiX + L,
d’où
et
K = bk - b,+1 - (Mk - Mk&
L = hkbk - Mk$ - (bk - bk-l)ak + (Mk - Mk-,>!$C&.
Nous obtenons alors :
h2,
hi
h3
Kx +L = bkx - bk-1X - MkT” + MkplTX + hkbk - MkT
h2
hz
- ad% + b!.-lak + Mk&ak - M&,-ak.
6
6
En regroupant les termes et en tenant compte du fait que hk est donné par l’expression hk =
ak - a&1, on obtient :
Kx+L= (bk-Mk$) (x-ak-l)+ (bk~l-Mk~l~) (ak-X);
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