MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
d’où nous pouvons écrire :
hkQk(x) = Mk(" - ;'-')" - Mk_, (x c:,j3 + (bx ~ Ma:) (x - akpl)
h2”
+ bk-1 - Mk&,T (Uk - x)
;
>
Par cette succession de transformations nous avons réduit le nombre d’inconnues du système
linéaire, et ce sont les Mk qui deviennent les nouvelles inconnues au lieu des coefficients akc, okl,
CY~Z et czk3. Pour calculer effectivement les Mk, nous devons utiliser le fait que les polynômes
QI*(X) et Qk-+l (x) d .
orven avoir leurs dérivées premières qui se raccordent au point arc. Nous
t
obtenons ainsi :
Mk!?-~+~k!!!&+!!-hk!!i
2
6
6
kil
bk
=&f-bk+l
+hk+l++-Mk+l
2
hlr+1
hk-+l
hk+lT
Regroupons les termes en Mk ordonnés selon les indices croissants :
Puisque les polynômes &O(X) et Q ( )
1 x sont déterminés par Mo = Mn = 0, on obtient donc
un système de (n - 1) inconnues en faisant varier k de 1 à (n - 1).
À présent, il reste à résoudre un système linéaire dont le premier membre dépend d’une matrice
tridiagonale.
14. Résolution d’un système linéaire dépendant d’une matrice tridiagonale
Comme la plupart des éléments de la matrice sont nuls, il est préférable d’utiliser une méthode
adéquate pour traiter ce système linéaire. En effet l’utilisation d’un programme général serait mal
venue car la plus grande partie du temps de calcul serait consacrée à l’obtention de résultats
nuls. Donc nous allons présenter une méthode adaptée au problème, méthode d’autant plus
intéressante qu’elle est généralisable au cas d’une matrice pentadiagonale par exemple.
D’une façon tout à fait formelle, écrivons un système linéaire qui dépend d’une matrice
tridiagonale :
ml1 ml2
0
0
0
.
0
m21
m22
m23
0
0
.
0
0
m32
m33
m34 0
. . . 0
. . . . . . . . . . . . .
0
0
0 mn-l,n-2
mn-l,+1
m-h
0
0
00
mn,+1
mn+
système que l’on peut écrire sous la forme condensée :
MX=C.
Xl
x2
x3
xn-1
271
Cl
c2
c3
G-1
CT,
On traitera plus avantageusement le tableau T à n lignes et (n + 1) colonnes obtenu en
juxtaposant à la matrice M le vecteur C.
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