6.
L’INTERPOLATION
Une transformation linéaire tout à fait analogue à celle utilisée dans la méthode des pivots
permet de passer du tableau T au tableau T* par suppression d’une diagonale de la matrice M,
tous les éléments de la diagonale principale prenant la valeur 1 (cf. chapitre 5). Pour parvenir à
notre fin, nous allons diviser la première ligne du tableau T par l’élément diagonal mil. Ensuite,
il suffit de multiplier la première ligne par mzi et de retrancher le résultat de la deuxième ligne.
On divise alors cette deuxième ligne par 1’ClCment situé sur la diagonale. On pourrait penser qu’il
vaut mieux commencer par effectuer la division par le pivot avant d’effectuer la combinaison
linéaire qui élimine m21, mais dans ce dernier cas, on réalise une opération en trop qui est
m2i/m22. En effet, il est inutile de diviser m& par m& après la réalisation de la combinaison
linéaire car rn& est nul. Cette remarque fait gagner (n- 1) opérations ce qui n’est pas négligeable
lors de procédures répétitives où le temps d’exécution peut devenir important.
En poursuivant de ligne en ligne la même façon d’opérer, on aboutira nécessairement au
tableau T* qui aura la forme suivante :
1
PlZ
0
0
4
0
1
PZY
0
dz
00
1
P34
dz
. . . . . . . . . . .
0
0
0
0
1 P+I,~
61
00
0
00
1
4,
La dernière ligne donne directement la valeur de la dernière inconnue. La ligne (n ~ 1) permet
d’obtenir alors l’inconnue (n - 1) par substitution et ainsi de suite en remontant jusqu’à la
première ligne du tableau. En considérant le problème de résolution d’un système linéaire sous
cet angle particulier, on aboutit à une économie considérable de mémoire et de temps de calcul.
Sur le Web (*), on trouvera le programme lispline. c qui réalise l’interpolation par des
fonctions-spline du troisième degré.
15. Une application simple des polynômes d’interpolation
L’intégration formelle d’un polynôme est une des rares opérations que l’on sache réaliser
rigoureusement. Il n’y a pas de difficulté particulière donc à utiliser les polynômes d’interpolation
pour réaliser les opérations de quadrature.
En particulier, si l’on utilise les fonctions-spline du troisième degré,on aboutira à une valeur
numérique dont la précision est analogue à celle donnée par la méthode de Simpson (1710-1761)
puisque, dans les deux cas, il s’agit d’interpoler une fonction par une parabole cubique.
Nous fournissons sur le Web (*) 1 e sous-programme aire. h qui assure cette intégration. Nous
donnons les étapes du calcul de l’expression qui est programmée. Partons de l’expression générale
du polynôme d’ordre k :
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
105
L’INTERPOLATION
Une transformation linéaire tout à fait analogue à celle utilisée dans la méthode des pivots
permet de passer du tableau T au tableau T* par suppression d’une diagonale de la matrice M,
tous les éléments de la diagonale principale prenant la valeur 1 (cf. chapitre 5). Pour parvenir à
notre fin, nous allons diviser la première ligne du tableau T par l’élément diagonal mil. Ensuite,
il suffit de multiplier la première ligne par mzi et de retrancher le résultat de la deuxième ligne.
On divise alors cette deuxième ligne par 1’ClCment situé sur la diagonale. On pourrait penser qu’il
vaut mieux commencer par effectuer la division par le pivot avant d’effectuer la combinaison
linéaire qui élimine m21, mais dans ce dernier cas, on réalise une opération en trop qui est
m2i/m22. En effet, il est inutile de diviser m& par m& après la réalisation de la combinaison
linéaire car rn& est nul. Cette remarque fait gagner (n- 1) opérations ce qui n’est pas négligeable
lors de procédures répétitives où le temps d’exécution peut devenir important.
En poursuivant de ligne en ligne la même façon d’opérer, on aboutira nécessairement au
tableau T* qui aura la forme suivante :
1
PlZ
0
0
4
0
1
PZY
0
dz
00
1
P34
dz
. . . . . . . . . . .
0
0
0
0
1 P+I,~
61
00
0
00
1
4,
La dernière ligne donne directement la valeur de la dernière inconnue. La ligne (n ~ 1) permet
d’obtenir alors l’inconnue (n - 1) par substitution et ainsi de suite en remontant jusqu’à la
première ligne du tableau. En considérant le problème de résolution d’un système linéaire sous
cet angle particulier, on aboutit à une économie considérable de mémoire et de temps de calcul.
Sur le Web (*), on trouvera le programme lispline. c qui réalise l’interpolation par des
fonctions-spline du troisième degré.
15. Une application simple des polynômes d’interpolation
L’intégration formelle d’un polynôme est une des rares opérations que l’on sache réaliser
rigoureusement. Il n’y a pas de difficulté particulière donc à utiliser les polynômes d’interpolation
pour réaliser les opérations de quadrature.
En particulier, si l’on utilise les fonctions-spline du troisième degré,on aboutira à une valeur
numérique dont la précision est analogue à celle donnée par la méthode de Simpson (1710-1761)
puisque, dans les deux cas, il s’agit d’interpoler une fonction par une parabole cubique.
Nous fournissons sur le Web (*) 1 e sous-programme aire. h qui assure cette intégration. Nous
donnons les étapes du calcul de l’expression qui est programmée. Partons de l’expression générale
du polynôme d’ordre k :
*http://www.edpsciences.com/guilpin/
105