MANUEL
DE
CALCUL
NUMÉRIQUE
APPLIQUÉ
Désignons par Sk la surface comprise entre ak-1 et arc, il vient :
Sk = J’
Pk(x) dz = Mk-1
(x - ak-1)4
24hk
_ Mkpl (Q - 4”
24hk
alc-1
h2k
(uk - cc)”
- bkpl - AI/++ (hi - j&!!i) (x-2;-1)2
ak
.
6
2hk
ak-1
Le développement de cette dernière expression conduit à la formule simple :
là on tire :
expression dans laquelle S est l’intégrale totale. Dans le cas fréquent où les abscisses sont en
progression arithmétique, nous pouvons poser h = hk quel que soit l’indice k, on arrive alors à
une expression encore plus simple de S :
S=h -&- bo;bn ~
k=O
16. L’algorithme d’interpolation d’Aitken (1932)
Il s’agit d’une procédure ~ encore appelée algorithme de Neville-Aitken ~ destinée au calcul
d’un polynôme pour une valeur particulière alors que le dit polynôme est connu par (n + 1)
points (zk, yk) avec k = 0, 1,2,. . . ,n. C’est une méthode directe qui permet d’obtenir donc une
valeur unique du polynôme, en ce sens elle est analogue au polynôme de Lagrange.
Dans ce paragraphe, on désigne par Pp...q le polynôme de degré (Q - p - 1) qui passe par les
poilits (q, yp) . . . (xq, Y~) et par Pp ,... ,fn) ,.._ 4 le polynôme de degré (p ~ q - 2) qui passe par les
Points (Q, Y~) . . . (xkq, Y~) ’ 1
a ‘exception du point (IC,, yT).
Avant même de rentrer dans le cœur du sujet, il est possible d’ores et déjà de remarquer que
l’ordre des points ne joue aucun rôle quant à la nature des polynômes.
16.1. Relation de récurrence entre les polynômes P
Entre les polynômes Pp ,... ,4, Pp ,.._ ,tx) , . __ 4 et Pp , __. ,tc) ,.._ q il existe la relation de récurrence
suivante :
(x77 - %)Pp,...q =
(xc7 - x) pp ,_.. ,(m) )_.. q
(x77 -xl
p. 7J ,..., (0) , . << q ;
(6.18)
où, pour plus de clarté, nous précisons que le second membre est un déterminant.
La démonstration de cette relation repose sur le fait que, pour une valeur 2, différente de 5,
et x,, on a :
Pp...q(x,) = p
(x
=P
p ,... ,(cr) ,... q u)
p , ___ ;(7T) ,_.. & = yv.
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